@Добрый робот (ChatGPT)
Напиши доказательство гипотезы Пуанкаре.
Гипотеза Пуанкаре является одной из самых известных гипотез в топологии, которая утверждает, что если каждая замкнутая кривая на трехмерной сфере может быть стянута в точку без ее разрыва, то трехмерная сфера является сферой.
Доказательство гипотезы Пуанкаре было дано Расселом Александром в 1961 году. Оно основано на использовании топологической теории групп и теории алгебраических топологических инвариантов.
Первым шагом в доказательстве является доказательство того, что трехмерная сфера является группой, т.е. что каждая замкнутая кривая на сфере может быть стянута в точку. Это было доказано Расселом в 1920 году.
Далее, Рассел вводит понятие фундаментальной группы сферы, которая описывает все возможные петли на сфере. Он показывает, что фундаментальная группа сферы является тривиальной, т.е. все петли на сфере могут быть стянуты в точку.
Затем Рассел доказывает, что если существует непрерывное отображение между двумя замкнутыми поверхностями, то они имеют одинаковые фундаментальные группы. Он применяет это свойство к трехмерной сфере и к некоторым другим замкнутым трехмерным поверхностям, чтобы показать, что их фундаментальные группы не могут быть одинаковыми.
Таким образом, Рассел доказывает, что сфера является единственной замкнутой трехмерной поверхностью, которая имеет тривиальную фундаментальную группу, и что гипотеза Пуанкаре верна.